Contribuições do número pi nos dias de hoje

O número PÍ é definido como sendo a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente.

O fascínio pelo PÍ e a determinação do seu valor têm acompanhado a matemática ao longo da sua história. Desde cedo que se teve consciência de que o seu valor é constante. No Antigo Testamento, no Livro dos Reis e nas Crónicas, o valor de PÍ era 3. Na Babilónia, esse valor era de 25/8. Para os egípcios, de acordo com o papiro de Rhind, PÍ = 4(8/9)² = 3.16. Estes valores foram determinados recorrendo a medições (ver actividade).

Entretanto, o valor de PÍ passou também a ser determinado através de cálculos teóricos. Por exemplo, Arquimedes (287-212 a.C.) situou o valor de PÍ entre 3(1/7) e 3(10/71), fazendo aumentar o número de lados de um polígono inscrito. Por sua vez, Ptolomeu, em 150 d.C., estimou esse valor em 3,1416.

Outros matemáticos estimaram o valor de PÍ, como por exemplo:

Tsu Ch'ung Chi (430-501 d.C.) : 355/113;

al-Khwarizmi (c. 800 ) : 3.1416;

al-Kashi (c. 1430) , com 14 casas decimais;

Viète (1540-1603) , com 9 casas decimais;

Roomen (1561-1615) , com 17 casas decimais;

Van Ceulen (c. 1600) , com 35 casas decimais.

Com a descoberta do cálculo infinitesimal, passou a recorrer-se também à utilização de séries infinitas convergentes, de produtos e de fracções, para aproximar PÍ.

Nos dias de hoje, recorre-se ao computador para estimar o valor de PÍ. O seu valor é já conhecido com mais de mil milhões de casas decimais.

Considerado uma constante fundamental da matemática, PÍ figura em muitas fórmulas importantes, como, por exemplo, a do perímetro de um círculo (P = 2R), a da área de um círculo (A = R²), a do volume de uma esfera (V = 4/3R³), etc.

Para além de estar relacionado com o cálculo infinitesimal e a geometria, o PÍ também apresenta relações com as probabilidades, como ilustra o problema da agulha de Buffon.

O problema da agulha de Buffon, séc. XVIII, constitui uma forma de determinar o valor de PÍ e pode enunciar-se da seguinte forma:

"Considere-se um chão constituído por ripas de madeira de largura d, paralelas entre si. Deixa-se cair no chão uma agulha com comprimento k < d. Qual é a probabilidade de a agulha cair de modo a cruzar uma linha entre duas ripas adjacentes?"

Se a agulha cair sobre uma linha, o lançamento é considerado favorável. A descoberta de Buffon consistiu no facto de ter constatado que a razão entre o número de lançamentos favoráveis e o dos não favoráveis era dada por uma expressão que envolvia PÍ. Se o comprimento da agulha for igual a d, a probabilidade de um lançamento favorável é de 2/. Quanto maior for o número de lançamentos, maior é a aproximação do resultado ao valor de PÍ.

Várias pessoas tentaram aproximar o valor de Pí atirando agulhas ao chão. O caso mais conhecido é o do matemático italiano M. Lazzerini, que em 1901 realizou 34080 lançamentos, obtendo para Pí o valor de 3.1415929 (correcto até à sexta casa decimal).

Um outro método que recorre ao cálculo de probabilidades para a determinação do valor de PÍ foi inventado por R. Chartres, em 1904, que descobriu que a probabilidade de dois números escritos ao acaso serem primos entre si era de 6/².

A importância atribuída ao número PÍ chega mesmo a áreas como a busca de vida extraterrestre. Com efeito, são enviadas para o espaço, através de ondas electromagnéticas, sequências dos dígitos conhecidos do número PÍ, com a intenção de que "alguém" nos "ouça" por esse Universo fora e nos responda, talvez, com o número de Nepper.

DEFINIÇÃO DE PÍ

•  Pi (π), o número irracional que representa a divisão entre uma circunferência e o diâmetro correspondente, com o valor aproximado de 3,1415926.
    Na matemática, π é uma proporção numérica originada da relação entre as grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro "p" e diâmetro "d", então aquele número é igual a "p/d". É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adotada para o número a partir da palavra grega para perímetro.
   
• O valor de π pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415926. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar 3,141592653589732384626433832795028841971693993751058 com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.

Como Aplicamos o Número Pi no Dia-a-Dia

Nos usamos o numero pi para medir comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:
 c/d = pi
c = pi x d  Como o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, é fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:
(4 + 100) x 8 + 62 000 = pi x 20 000
104 x 8 + 62 000 = pi x 20 000
832 + 62 000 = pi x 20 000
62 832 = pi x 20 000
62 832/20 000 = pi
3,1416 = pi
 Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.
 Há pessoas que têm inventado frases, em diferentes línguas, para ajudar a memorizar π, em que o número de letras de cada palavra indica o respectivo algarismo. Por exemplo:
“Sou o medo e temor constante do menino vadio” – 3,14159265
“Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages” - 3,1415926535
“May I have a large container of coffee” - 3,1415926
 Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.

Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.

Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

 

Baseado no método de Arquimedes é possível formular uma representação matemática para o cálculo de pi, eficiente para um polígono de qualquer número de lados.

Considerando um polígono de n lados e raio 1, temos a medida do lado expressa pela lei dos cossenos:

a2 = b2 + c2 − 2bccosα

Temos formado um triângulo isósceles, de base l e lados r=1:

l2 = r2 + r2 − 2r2cosα
l2 = 12 + 12 − 2cosα
l2 = 2 − 2cosα


O ângulo do triângulo isósceles no centro do polígono é expresso por 360º dividido pelo número de lados (n), portanto:



O francês François Viète, estudando o método de Arquimedes, desenvolveu a seguinte série para o cálculo de π em 1593:


Outra série conhecida para o cálculo de π foi desenvolvida por Leibniz em 1682, utilizando-se da série de Taylor para a função arctan(x), tomando-se x=1 e, por conseguinte, arctan(1)=π/4.

Johann Heinrich Lambert publicou, em 1770, uma série na forma de divisões infinitas:


Um dos estudos dos métodos de cálculo numérico é obter a raiz de uma função. Quando consideramos a função f(x) = sin(x) sabemos que f(π) = sin(π) = 0. Os principais métodos do calculo numérico para a obtenção da raiz da função f(x) podem incluir uma busca binária no intervalo [a,b] onde se sabemos que f(3) = sin(3) > 0 (a = 3) e f(4) = sin(4) < 0 (b = 4) então podemos aprimorar o intervalo para:

   
  
Partindo-se do intervalo \pi \in [3, 4] esse método permite refiná-lo sucessivamente para os intervalos

e assim sucessivamente.

Ainda no cálculo numérico, o método de Newton-Raphson, mais eficiente que uma busca binária permite obter aproximações sucessivas para a raiz da função f(x) = sin(x) utilizando um ponto inicial x0 exigindo que conheçamos f'(x) = cos(x).

Tomando-se x0 = 3 e considerando-se que por Newton-Rapson


temos a seguinte série para π

  1.  x0 = 3
  2 . x1 = 3,14254654
  2.  x2 = 3,14159265
Um método otimizado de cálculo numérico para o cálculo de π através das raízes de uma função pode ser obtido pela simplificação

        xi + 1 = xi + sin(xi),

pois na proximidade de π,

Notemos que nesses algoritmos de cálculo numérico considera-se π como trancendental, uma vez que a função f(x) = sin(x) não pode ser escrita através de um polinômio finito de coeficientes racionais; a função f(x) = sin(x) é obtida através da expansão da série de Taylor.

O numero pi é igual a : 0,3333333... = 0,3

1,6666666... = 1,6

12,121212... = 12,12

0,9999999... = 0,9

7,1333333... = 7,13

0,333333... = 0,(3) = 0,3

3,636363... = 3,(63) = 3,63

O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.

HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 ,  , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados)grupo 1:diana , ketenli,cleiton, juliane ,kaliane,gleicy....7* 8
     

Curiosidades Sobre o número Pí.

Pi no espaço

O astrônomo Robert Mattews, da Universidade de Aston na Inglaterra, combinou dados astronômicos com teoria numérica para calcular o pi. Ele usou o fato de que, para qualquer grande amostragem de números aleatórios, a probabilidade de encontrarmos números sem um fator comum é 6/pi2 . Fator comum é quando dois números tem algum divisor comum, além do número 1. Por exemplo: 3 e 7 não têm fatores comuns, 12 e 10 tem como fator comum o número 2.

Mattews calculou a distância angular entre as 100 estrelas mais brilhantes do espaço e transformou isso em 1 milhão de pares de números aleatórios. Destes, aproximadamente 61% não tinha fatores comuns. Ele chegou a um valor de 3.12772 para pi, o que é 99,6% correto.
Pi na água
A constante matemática está na rota de todos os rios curvos que deságuam no mar. A sinuosidade de um rio é descrita pelo comprimento de sua curva dividido pela distância deste ponto até o oceano em linha reta. O resultado é que, em média, os rios têm uma sinuosidade de aproximadamente 3,14 – o número pi.

Pi na literatura
No livro inédito “Alex's Adventures in Numberland” (algo como “As aventuras de Alex na Terra dos números”, o jornalista Alex Bellos fala de como o número pi inspirou uma brincadeira literária conhecida como Pilish. Ela consiste em poemas – ou “piemas” – onde o número de letras de palavras sucessivas é determinado por pi. O próprio autor já escreveu um livro de 10 mil palavras com a técnica.

Mesmo que você não trabalhe com números e as ciências exatas não sejam suas favoritas, tem, no mínimo, uma vaga lembrança do pi. Ele é obtido pela divisão da circunferência de um círculo por seu diâmetro. O resultado é sempre a dízima 3,1415927 (e, por aí vai, ela nunca chega ao fim). A data foi estaelecida por causa dos primeiros números (3 = mês de março; 14 = dia).